Essa é para eu nunca mais esquecer...
Logo, basta criar uma lista de sites que irão querer que o navegador faça o acesso direto, e colocar essa lista como argumento do comando never_direct, no Squid. E pronto. Lógico que não lembrei de todos os sites que requerem isso. Além dos sites seguros, alguns requerem para logon em fóruns, e saí acrescentando. A lista cresce de acordo com a colaboração de colegas que noticiam sites que não funcionam, e assim funciona.
Quem me deu a dica foi um usuário do VivaOLinux, muito obrigado mais uma vez. Eu já estava perdendo os cabelos com essa.

Marcadores: escola, problema, segurança, site, solução, squid